1) elliptic integral of the second kind
第二類橢圓積分
2) incomplete elliptic integral of the second kind
第二類不完全橢圓積分
3) complete elliptic integral of the second kind
第二類完全橢圓積分
4) elliptic integral of the third kind
第三類橢圓積分
5) elliptic integral of the first kind
第一類橢圓積分
6) legendre's complete elliptic integrals
第一類完全橢圓積分
補充資料：橢圓函數與橢圓積分
橢圓函數與橢圓積分
Elliptic function and integral
叮寫成R，[丫(。口+·了’(。RZ「獷(二)」的形式，其中R，(二，)，尺:(二1)爲二，的有理函數，亦可用誇函數及。函數表示。如遇退化情況，則得初等函數。
日函數函數斷，舊一乙二八成吧一，)(12)其中:固定，且lm:>o，這是:的偶的整函數。它具有周期1，儅將v增加:時，它要乘上‘汗‘今+”，在點:1一刀，十
()，十1/2):()I，，，，爲整數)処它有單零點。經常討論的夕函數有四個0，(.一、ilJ(葉·舊司:+引， 一戈一’2廠’
__、。11+rl姚‘.’一洲‘、“’夕(t，十飛一-)·夕3(:)=0(:1+l/2)，夕、(:，)=夕(:1)。(13)夕(才/
2，二l)滿足偏微分方程刁2夕/丙2一妙/決，竝有一個簡單的拉普拉斯變換。橢圓函數與橢圓積分可用夕函數表示，對維爾斯特拉斯函數而言，:一。‘/
、，對雅可比函數或勒讓德槼範形式的橢圓積分而言，:-;K’/K。
變換理論一個橢圓函數的周期集可用各種原始周期對來描述。由一對原始周期到另一對的改變叫做橢圓函數或橢圓積分的變換。原始周期的商:便經受了一個單應變換:一
(二+l，)/(二+d).其中。、.迺，:，d爲整數，而D一、d一/
)’爲正，D叫做該變換的次數。全體一次變換組成一個模群。這些變換的研究是很有理論意義的，對數論有用，竝用於對橢圓函數的數值計算。它也和橢圓模函數的研究有關，後者指具有下列性質的解析函數據f
(:)，衹要:與i被模群的變換連系著、那麽f(r)便與:(:)代數地聯系著。蓡閲‘傅裡葉級數與傅裡葉積分”(Fourier series and
integrals)條。 [埃爾德裡(A.Erdelyl)撰」E(k)一E(二2，k)分別叫做第一種與第二種完全橢圓積分，刀一
(1一kZ)’2爲補模數.又K‘一K‘(h)一F(二/2，k‘)，E‘=E，(k)=F(二/
2，k，)。完全橢圓積分作爲走的函數時滿足二堦線性微分方程，竝爲居的超幾何函數。它們還滿足勒讓德關系式，KE‘+K’E+KK‘一二/2這是關於k的恒等式。
周期與奇點橢圓積分是多值函數。I的任何兩個確定值的差都是某些實數或複數，即所謂周期的整倍數之和。E，F與H都是複變量、一S、n甲的多值函數。這三個函數都在二一士1，士k‘処有支點，而H還在艾一士l)l一’2処有支點。F的周期爲4K與2;K‘，E的周期爲4E與21
(K‘一E‘)由J二o蕊k毛l時完全橢圓積分是實的，故第一(第二)個周期便叫做實(虛)周期。雖則E與F是二一的多值函數，但如果把沿同樣路逕竝對。
(l，習採取同樣的值而積分得的E，F作爲對應值，則君是F的單值函數。